$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$成立,不能得出$AB=BA$. 反例1:$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix…
首先,在1545年,数学家 Gerolamo Cardano 在发表的书籍《Ars Magna》中证明了三次方程 \begin{equation} x^3=3px+2q \label{cubiceq}\end{equation} 有以下解式(实际为1541年数学家塔尔塔利亚发现,两人因此结怨): \begin{equation} x=\sqrt[3…
在同济七版高等数学下册第十二章第四节函数展开成幂级数中,有一个例题给出了 $(1+x)^m$ 展开为 $x$ 的幂级数的形式 $$(1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{m(m-1) \cdots(m-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots \quad (-1< x …
一元函数不定积分的分部积分公式 如果对求导熟悉的话,那么分部积分的原理非常好理解。不过这里还是先从求导的乘法法则说起。 导数是函数某点处的变化率,或者说是差商的极限。给定函数$f(x)$,在点$x_0$处,导数定义为 \begin{equation} f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delt…
极限的计算是建立在已知的若干极限和极限运算法则基础上的。除此之外,还有很多不能直接计算出来,需要证明的极限。这里列出一些。 $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1$ 证明:令$x_n=\sqrt[n]{n}$. 因为 $n$ 是正整数且趋于无穷,故考虑 $n>1$,所以 $x_n>1$. 则可设…