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分部积分原理

一元函数不定积分的分部积分公式

如果对求导熟悉的话,那么分部积分的原理非常好理解。不过这里还是先从求导的乘法法则说起。

导数是函数某点处的变化率,或者说是差商的极限。给定函数$f(x)$,在点$x_0$处,导数定义为 \begin{equation} f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, \label{eq:def} \end{equation} 若将$x_0$换为常用作自变量的字母$x$,则可得到导函数(经常简称为导数)的定义。

下面是我们都熟悉的求导乘法法则。设$u,v$是两个函数,$x$是自变量,则 \begin{equation} (uv)' = u'v+uv'. \label{eq:productrule} \end{equation} 事实上运用导函数的定义很容易推导出导数的乘法法则: $$ \small\begin{aligned} (uv)' & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x+\Delta x)v(x) + u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)\left(v(x+\Delta x) - v(x)\right)+ \left(u(x+\Delta x) - u(x)\right)v(x)}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} u(x+\Delta x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x) \\ & = uv' + u'v, \end{aligned}$$ 上式倒数第二行三个极限存在的条件分别是$u$连续,$u,v$可导。由于可导一定连续,所以只需$u,v$均可导便可使用这一法则。

下面从求导乘法法则推导分部积分公式。首先将\eqref{eq:productrule}式移项得 $$ uv' = (uv)' - u'v, $$ 然后两边同时作不定积分,注意不定积分和求导互为逆运算,得到 $$ \int uv' \text{d}x = uv - \int u'v \text{d}x . $$ 这就是分部积分公式,再通过凑微分可得另一形式 $$ \int u \text{d}v = uv - \int v \text{d}u . $$

高维空间中函数的分部积分公式

如果将一元函数的全体构成的集合称为一维空间,那么$n$元函数的全体便构成了$n$维空间。若$n\geqslant 2$,就是这里所谓的高维空间。高维空间中的分部积分公式在变分法中比较有用,这里简单作一记录。

首先,多元函数的导数无法使用一元函数导数的定义,因为自变量有多个,而一元函数导数的定义\eqref{eq:def}中分母只能是一个变量。反过来说,只要分母是一个变量就行了,于是产生了偏导数的概念。将多个变量中的一个视为作为变量,其余视为常量,多元函数就变成了一元函数,此时的导数就是偏导数。显然,对多元函数来说,有几个变量,就有几个偏导数。但既然有多个变量,一次只考虑一个变量必然不能反映函数的整体特性。一元函数的导数是变化率,换句话说,当自变量有微小变化时,导数反映了因变量的变化程度。对多元函数来说,类似的概念则是梯度。举例来说,对三元函数,梯度定义为 $$ \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right), $$ 其中$\nabla$是梯度算子,或者叫作微分算子,相当于一元函数的求导符号。显然梯度的结果是一个向量,每个分量是偏导数的值。梯度的意义主要是:沿梯度方向,函数值变化率最大。与一元函数的导函数不同,梯度函数的因变量不再是标量,而是向量。也就是说梯度函数是向量值函数,或称为向量场。

了解梯度以后,实际上下面要用的是微分算子$\nabla$,即 $$ \nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}\right). $$

继续来说多元函数的分部积分公式,仿照一元函数分部积分公式的推导过程,现在我们需要一个乘法法则。涉及到微分算子$\nabla$的乘法法则有很多,我不知道是否每一个都可以推导分部积分公式,这里仅给出从散度乘法法则出发的结论。

所谓散度,即描述向量场的发散程度的量。所以向量值函数才有散度,而散度值则是标量。定义为 $$\operatorname{div} \mathbf{V}=\nabla \cdot \mathbf{V}=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z},$$ $\operatorname{div}$是散度算子,来源于散度的英语divergence。$\nabla \cdot \mathbf{V}$中的$\cdot$是向量的点积,或称为内积,$\mathbf{V}$是一个向量场。$V_{x},V_{y},V_{z}$是该向量场三个分量。从数学上看,散度是向量场各分量对各自自变量的导数的和。

散度乘法法则是 $$ \nabla \cdot(u \mathbf{V})=u \nabla \cdot \mathbf{V}+\nabla u \cdot \mathbf{V}, $$ 其中$u$是标量值函数,$V$是向量值函数,它们的乘积当然是向量值函数,也就可以求散度。右则的$\nabla \cdot \mathbf{V}$是微分算子与$V$的内积,$\nabla u$是梯度。这一乘法法则可以给出一个高维分部积分公式。

设$\Omega$是$\mathbb {R} ^{n}$中的一个有界开集,其边界$\Gamma =\partial \Omega$分段光滑。在该开集$\Omega$上对上述散度乘法法则做积分,可得 $$ \int_{\Omega} \nabla \cdot(u \mathbf{V}) \text{d} \Omega=\int_{\Omega} u \nabla \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega+\int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega, $$ 再由高斯散度定理,等号左边项可化为 $$ \int_{\Omega} \nabla \cdot(u \mathbf{V}) \text{d} \Omega = \int_{\Gamma} u \mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{d} \Gamma, $$ 综合可得 $$ \int_{\Gamma} u \mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{d} \Gamma=\int_{\Omega} u \nabla \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega+\int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega, $$ 其中$\hat{\mathbf{n}}$是边界上朝外的单位法向。再移项就得到了分部积分公式 $$ \int_{\Omega} u \nabla \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega=\int_{\Gamma} u \mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{d} \Gamma-\int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega $$ 或 $$ \int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega = \int_{\Gamma} u \mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}} \text{d} \Gamma - \int_{\Omega} u \nabla \cdot \mathbf{V} \text{d} \Omega. $$

最后,至于是否还有其他分部积分公式,就不清楚啦。

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