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积分可以“正着”算吗?

最近有学生问了一个有趣的问题,说“不定积分是求导逆过来,那么求不定积分是不是只能从已知的导数反推?”乍一听到这个问题,我想反驳,但仔细一想,似乎只能给予肯定的答案。

一直以来,不定积分的计算都是比较难的。通常学生们在问一个问题后将做不出来的原因归结为“我想不出这种换元”“我没见过这种分解”等等。足见不定积分的计算非常灵活,难以掌握。

根据导数的定义,对任意函数$f(x)$,都可以根据$$f’(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$来计算导函数。也就是只要知道这个定义式,总是有方式去计算导函数的,当然算不算得出是另一回事。

但不定积分是已知导函数找原函数,可以看作求导函数的逆运算,并没有定义式。这也就导致了如果不会求导就不可能会求不定积分。如果不定积分像求导一样有定义式,确实会更容易一些。难怪学生会有此问题。

而且这位学生还觉得求不定积分的过程实际上就是去凑一个导数是被积函数的函数,这种凑的过程太不“数学”了,不优美。对此我想可以用乘除法类比。我们为什么知道$6\div 3=2$?因为$2 \times 3=6$啊!乘法是若干次加法,但并没有人把除法看作若干次减法来用,而是作为乘法的逆运算。

从这一角度上说,不会乘法,也就不会除法。同样的,不会求导,也就不会不定积分。无非就是熟练的问题。回归标题,我想不定积分应该不能“正着”算。

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